Question

如圖，在半徑為30 cm的半圓形(O為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A，B在直徑上，點C，D在圓周上．

(1)怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積．

(2)若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗)，應怎樣截取，才能使做出的圓柱形罐子體積最大？并求最大體積．

Answer 1

 (1)(法一)連接OC.

設(shè)BC＝x，矩形ABCD的面積為S，

則AB＝2，其中0<x<30.

所以S＝2x＝2≤x²＋(900－x²)＝900，

當且僅當x²＝900－x²，即x＝15時，S取得最大值為900 cm².

(法二)連接OC.設(shè)∠BOC＝θ，矩形ABCD的面積為S，

則BC＝30sin θ，OB＝30cos θ，其中0<θ<.

所以S＝AB·BC＝2OB·BC＝900 sin 2θ.

當sin 2θ＝1，即θ＝時，

S取最大值為900 cm²，此時BC＝15.

所以取BC為15 cm時，矩形ABCD的面積最大，最大值為900 cm².

(2)(法一)設(shè)圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，

由AB＝2＝2πr，得r＝，

所以V＝πr²h＝ (900x－x³)，其中0<x<30.

由V′＝ (900－3x²)＝0，得x＝10，

因此V＝ (900x－x³)在(0,10)上是增函數(shù)，在(10，30)上是減函數(shù)．

所以當BC＝10時，V取得最大值為 cm³.

(法二)連接OC.設(shè)∠BOC＝θ，圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V，則圓柱的底面半徑為r＝，高h＝30sin θ，其中0<θ<.

所以V＝πr²h＝sin θcos²θ

＝ (sin θ－sin³θ)．

設(shè)t＝sin θ(0＜t＜1)，則V＝ (t－t³)．

由V′＝ (1－3t²)＝0，得t＝.

因此V＝ (t－t³)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以當t＝，即sin θ＝，BC＝10時，V取得最大值為 cm³.

所以取BC為10 cm時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為 cm³.