Question

3．點P是單位圓O外任意一點，過P點作圓O的兩條切線，切點為A、B，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為$2\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 如圖所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．由于$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{PA}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{PA}$=0，得到cosθ=$\frac{1}{m}$．于是$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${m}^{2}+\frac{2}{{m}^{2}}$-3，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：如圖所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{PA}$=（cosθ，sinθ）•（cosθ-m，sinθ）=cosθ（cosθ-m）+sin²θ=0，
化為cosθ=$\frac{1}{m}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（cosθ-m，sinθ）•（cosθ-m，-sinθ）
=（cosθ-m）²-sin²θ
=2cos²θ+m²-3
=${m}^{2}+\frac{2}{{m}^{2}}$-3≥2$\sqrt{2}$-3，當且僅當m²=$\sqrt{2}$時取等號．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為2$\sqrt{2}$-3．
故答案為：2$\sqrt{2}$-3．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、數(shù)量積的運算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．