Question

已知an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，用數(shù)學歸納法證明：n∈N^*時，a_n＜1．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，n=1時驗證不等式成立，假設n=k時不等式成立，然后證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：解：利用數(shù)學歸納法證明．
①當n=1時，a₁=

1

2

＜1；
②假設n=k時，不等式成立，即ak=

1+22+33+…+kk

(k+1)k

＜1．
那么n=k+1時，ak+1=

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k

(k+2)k

＜1．
這就是說，n=k+1時，不等式也成立．
所以an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，對于n∈N^*時，a_n＜1成立．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列在不等式證明中的應用，考查數(shù)學歸納法的證明步驟，注意用上假設是證明問題的關(guān)鍵．