Question

已知an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，用數(shù)學(xué)歸納法證明：n∈N^*時(shí)，a_n＜1．

Answer 1

利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

＜1；
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即ak=

1+22+33+…+kk

(k+1)k

＜1．
那么n=k+1時(shí)，ak+1=

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k

(k+2)k

＜1．
這就是說，n=k+1時(shí)，不等式也成立．
所以an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，對于n∈N^*時(shí)，a_n＜1成立．