Question

已知點(diǎn)分別是射線，上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為定值2．

（I）求線段中點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)作直線，與曲線交于不同的兩點(diǎn)，與射線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求此時(shí)直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（x＞0）

（Ⅱ）.

解析:

（I）由題可設(shè)，，，其中.

則                                          1分

∵的面積為定值2，

∴.                 2分

，消去，得：．                          4分

由于，∴，所以點(diǎn)的軌跡方程為（x＞0）．

5分

（II）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

由消去得：，                    6分

設(shè)點(diǎn)、、、的橫坐標(biāo)分別是、、、，

∴由得                           8分

解之得：．

∴.                       9分

由消去得：，

由消去得：，

∴.                                               10分

由于為的三等分點(diǎn)，∴.                 11分

解之得.                                                   12分

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)恰為的三等分點(diǎn)，故所求直線方程為.