Question

10．如圖，A是兩條平行直線(xiàn)之間的一定點(diǎn)，且點(diǎn)A到兩條平行直線(xiàn)的距離分別為AM=1，AN=$\sqrt{3}$．設(shè)△ABC，AC⊥AB，且頂點(diǎn)B、C分別在兩條平行直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{3}}{AC}$的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件把原式轉(zhuǎn)化為sin∠MBA+sin∠NCA，進(jìn)而利用角的關(guān)系，和兩角和公式對(duì)其化簡(jiǎn)確定最大值．

解答 解：∵AM=1，AN=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{3}}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$+$\frac{AN}{AC}$=sin∠MBA+sin∠NCA，
∵∠MAB+∠NAC=90°，∠NCA+∠NAC=90°，
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠MAB+∠MBA=90°，
∴sin∠MBA+sin∠NCA=sin∠MBA+cos∠MBA=$\sqrt{2}$sin（∠MBA+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，當(dāng)∠MBA=$\frac{π}{4}$取最大值，
故答案為：$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用．解題重要的地方是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題．