Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³．
（1）運用導數(shù)的概念及公式（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，求函數(shù)f（x）的導函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象為曲線C，過點P（$\frac{2}{3}$，0）作曲線C的切線，求該切線的方程．

Answer 1

分析 （1）運用導數(shù)的概念可得函數(shù)f（x）=x³在x=x₀時的導數(shù)，函數(shù)f′（x₀）=$\lim_{△x→0}$$\frac{{f（x}_{0}+△x）-{f（x}_{0}）}{{△x}_{\;}}$，結(jié)合公式（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，可得答案；
（2）將x=$\frac{2}{3}$代入導函數(shù)的解析式，求出切線的斜率，進而代入點斜式方程可得切線方程．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³，（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，
∴函數(shù)f′（x₀）=$\lim_{△x→0}$$\frac{{f（x}_{0}+△x）-{f（x}_{0}）}{{△x}_{\;}}$=$\lim_{△x→0}$$\frac{{x}_{0}^{3}+3{x}_{0}△x（{x}_{0}+△x）+{△x}^{3}-{x}_{0}^{3}}{△x}$=$\lim_{△x→0}$$\frac{3{x}_{0}△x（{x}_{0}+△x）+{△x}^{3}}{△x}$=$\lim_{△x→0}$$3{x}_{0}（{x}_{0}+△x）+{△x}^{2}$=3${x}_{0}^{2}$．
故f′（x）=3x²，
（2）∵f′（x）=3x²，
∴過點P（$\frac{2}{3}$，0）的C的切線的斜率k=′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$，
∴過點P（$\frac{2}{3}$，0）的C的切線的方程為：y=$\frac{4}{3}$（x-$\frac{2}{3}$），
即12x-9y-8=0．

點評 本題考查的知識點是導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．