Question

6．如圖所示，ABFC-A₁B₁F₁C₁為正四棱柱，D為BC上一點，且A₁B∥平面AC₁D，D₁是B₁C₁的中點，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C．求證：
（Ⅰ）平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）BC₁⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面平行的判定定理進行證明平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的性質定理即可證明BC₁⊥B₁D．

解答 證明：（Ⅰ）∵A₁B∥平面AC₁D，
∴設A₁C的中點為E，
則平面A₁BC∩平面AC₁D=ED，
∴A₁B∥ED；
∵E是AC₁的中點，
∴D是BC的中點，
即BDC₁D₁為平行四邊形，
∴BD₁∥DC₁，A₁D₁∥AD，
∵BD₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，AD?平面AC₁D，
∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）∵BC₁⊥AB₁，BC₁⊥AC₁，
∴BC₁⊥FB₁，
∵AB₁∩B₁F=B₁，
∴BC₁⊥平面AB₁F，
∵DB₁?平面AB₁F，
∴BC₁⊥B₁D．

點評 本題主要考查面面平行和線面垂直性質定理的應用，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．