Question

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-t）^{2}（x≤t）}\\{\frac{x}{4}（x＞t）}\end{array}\right.$其中t＞0，若函數(shù)g（x）=f[f（x）-1]有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（3，4）．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個(gè)解，即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-t）^{2}（x≤t）}\\{\frac{x}{4}（x＞t）}\end{array}\right.$其中t＞0，
∴函數(shù)f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3x-t）（x-t），x≤t}\\{\frac{1}{4}，x＞t}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜$\frac{t}{3}$，或x＜t時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)$\frac{t}{3}$＜x＜t時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{t}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值$\frac{4}{27}$t³，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)0和t，
若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，
則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個(gè)解，
即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個(gè)零點(diǎn)，
由y|_x=t=$\frac{1}{4}$x=$\frac{t}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{4}＜1＜\frac{4}{27}{t}^{3}}\\{\frac{t}{4}＜t+1＜\frac{4}{27}{t}^{3}}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{27}$t³-t-1=$\frac{1}{27}$（t-3）（2t+3）²＞0得：t＞3，
故不等式的解集為：t∈（3，4），
故答案為：（3，4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定定理，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．