Question

（本小題滿分13分）如圖，三棱柱中，，，．

（1）證明：；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、二面角等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，在等腰三角形中，O為AB中點，所以CO為高，由已知可得為等邊三角形，所以得到，所以利用線面垂直的判定得平面，最后利用線面垂直的性質(zhì)得；第二問，在等邊三角形中，先解出邊CO和的長，再利用分析出是直角三角形，得到線段的兩兩垂直關系，從而建立空間直角坐標系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夾角公式計算二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：取的中點，連接，，.

，故， . ..1分

又，，

為等邊三角形．

， ..3分

又因為平面，平面，．

平面． 5分

又平面，因此． 6分

（2）方法一：過點作，垂足，連接.

在等邊中，

在等邊中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

、平面，．

平面. 又平面，故．

、平面， ，故平面．

因為平面，所以．

所以是二面角的平面角． 10分

在中，．

在中，．

．

所以二面角的余弦值． 13分

方法二：在等邊中，在等邊中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

分別以，，為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，

由已知得，，，.

設為平面的法向量，

則，，

，，

又，，

.

取，則，，故． 11分

又是平面的法向量，二面角的大小等于或其補角．

．

依圖知二面角的余弦值為．. 13分

考點：線線垂直、線面垂直、二面角.