Question

P(x₀，y₀)(x₀≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率；

(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值．

Answer 1

解：(1)由點P(x₀，y₀)(x≠±a)

在雙曲線－＝1上，有－＝1.

由題意又有＝，

可得a²＝5b²，c²＝a²＋b²＝6b²，

則e＝＝.

(2)聯(lián)立，得4x²－10cx＋35b²＝0，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則①

設(shè)＝(x₃，y₃)，＝λ＋，即

又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b²，

有(λx₁＋x₂)²－5(λy₁＋y₂)²＝5b².

化簡得：λ²(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x₁x₂－5y₁y₂)＝5b²，

又A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在雙曲線上，

所以x－5y＝5b²，x－5y＝5b².

由①式又有x₁x₂－5y₁y₂＝x₁x₂－5(x₁－c)·(x₂－c)＝－4x₁x₂＋5c(x₁＋x₂)－5c²＝10b²，得：λ²＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.