Question

6．設函數(shù)f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值為m，最小值為n，其中a≠0，a∈R．
（1）求m，n的值（用a表示）；
（2）已知角α的頂點與直角坐標系x Oy中的原點 O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點 A（m-1，2n+6），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$的值．

Answer 1

分析 （1）由題可得函數(shù)f（x）=-（x-1）²+1+a，而0≤x≤3，再利用二次函數(shù)的性質求得最大值m、最小值n．
（2）由條件可得點A的坐標為（a，2a），故tanα=2，所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$，運算求得結果．

解答 解：（1）由題可得函數(shù)f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a的圖象的對稱軸為 x=1，
結合 0≤x≤3，利用二次函數(shù)的性質可得，函數(shù)的最大值 m=f（1）=1+a，最小值n=f（3）=a-3．
（2）由角β的終邊經過點A（m-1，2n+6），結合m=1+a，n=a-3，可得點A的坐標為（a，2a），故tanα=2，
所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于中檔題．