Question

3．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，CA=1，點P是△ABC內(nèi)一點，過點P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形（圖中陰影部分）．
（1）當點P為△ABC的重心（三邊中線交點）時，以P為頂點的三個三角形面積之和為$\frac{1}{6}$；
（2）當點P在△ABC內(nèi)運動時，以P為頂點的三個三角形面積和的最小值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）由點P為△ABC的重心求出P的坐標，并得到△PDE，△PGF，△PIH為三個全等的等腰直角三角形，求出其中一個三角形的面積乘以3得答案；
（2）設過點P且平行于直線AB的直線GE的方程為x+y=a（0＜a＜1），再設出P（m，a-m），把線段長度用含有a和m的代數(shù)式表示，寫出三個三角形的面積和，然后利用配方法求面積的最小值．

解答 解：如圖，以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
則C（0，0），A（1，0），B（0，1），
（1）∵點P為△ABC的重心，∴P（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$），此時△PDE，△PGF，△PIH為三個全等的等腰直角三角形，
故${S}_{△PDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$，則以P為頂點的三個三角形面積之和為$\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$；
（2）設過點P且平行于直線AB的直線GE的方程為x+y=a（0＜a＜1），
設P（m，a-m），則PF=GF=m，PD=ED=a-m，
∵直線AB的方程為y=1-x，將x=m代入可得y=1-m=DH，
故HP=DH-DP=1-a，
故以P為頂點的三個三角形面積和為$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{2}（a-m）^{2}+\frac{1}{2}（1-a）^{2}$
=${m}^{2}-am+{a}^{2}-a+\frac{1}{2}$=$（m-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}-a+\frac{1}{2}≥\frac{3}{4}{a}^{2}-a+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}（a-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{6}≥\frac{1}{6}$．
此時$a=\frac{2}{3}，m=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了直線的一般式方程，考查了三角形面積的求法，訓練了利用配方法求函數(shù)最值，是中檔題．