Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$（n≥2，n∈N^*），則a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)累加法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出a_n即可．

解答 解：由題意a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$，
則當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₃-a₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$，
這n-1個(gè)式子相加，就有a_n-a₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}$，
即a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，所以a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．