Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對于任意n∈N*，都有 成立，且．

（1）求，的值；

（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明．

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）代入求特殊項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，由，即有解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606032233637668_DA/SYS201503110606032233637668_DA.008.png">為正整數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，由，解得，所以（2）由，，，猜想：，證明關(guān)鍵在于計(jì)算：，所以

所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606032233637668_DA/SYS201503110606032233637668_DA.016.png">，，，又，所以．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606032233637668_DA/SYS201503110606032233637668_DA.021.png"> ，

當(dāng)時(shí)，由，即有，

解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606032233637668_DA/SYS201503110606032233637668_DA.008.png">為正整數(shù)，故． 2分

當(dāng)時(shí)，由，

解得，所以． 4分

（2）由，，，猜想： 5分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1º當(dāng)，，時(shí)，由（1）知均成立． 6分

2º假設(shè)成立，則，

由條件得，

所以， 8分

所以 9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606032233637668_DA/SYS201503110606032233637668_DA.016.png">，，，

又，所以．

即時(shí)，也成立．

由1º，2º知，對任意，． 10分

考點(diǎn)：歸納、猜想、證明