Question

11．已知函數(shù)$f（x）=|{1-\frac{1}{x}}|$，其中x＞0．
（1）當(dāng)0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由；
（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論a，b的范圍，確定a∈（0，1），b∈[1，+∞），去絕對(duì)值，得到等式，再由基本不等式，可得ab的范圍；
（2）可假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發(fā)探究a，b的可能取值，可分三類：a，b∈（0，1）時(shí)，a，b∈（1，+∞）時(shí)，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實(shí)數(shù)，則說明存在，否則說明不存在；
（3）由題意，由函數(shù)y=f （x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，結(jié)合（1）的結(jié)論知只能a，b∈（1，+∞），由函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，建立方程，即可得到實(shí)數(shù)m所滿足的不等式，解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
若a，b∈（0，1），f（x）遞減，f（a）＞f（b）不成立；
若a，b∈[1，+∞），f（x）遞增，f（a）＜f（b）不成立；
若a∈（0，1），b∈[1，+∞），則f（a）=f（b）即為
$\frac{1}{a}$-1=1-$\frac{1}$，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2，
由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$＞2$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
即有$\sqrt{\frac{1}{ab}}$＜1，解得ab＞1．
則ab的取值范圍是（1，+∞）；
（2）不存在實(shí)數(shù)a，b滿足條件．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，
而y≥0，x≠0，所以應(yīng)有a＞0，
又f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a，b∈（0，1）時(shí)，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-1=b}\\{\frac{1}-1=a}\end{array}\right.$，
由此可得a=b，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值不存在．
②當(dāng)a，b∈（1，+∞）時(shí)，f（x）在∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=a}\\{1-\frac{1}=b}\end{array}\right.$，
由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程無(wú)實(shí)根，
所以此時(shí)實(shí)數(shù)a，b也不存在．
③當(dāng)a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，顯然1∈[a，b]，
而f（1）=0∈[a，b]不可能，此時(shí)a，b也不存在．
綜上可知，符合條件的實(shí)數(shù)a，b不存在；
（3）若存在實(shí)數(shù)a，b使函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，
由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，
適合條件的實(shí)數(shù)a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上為增函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，且二實(shí)根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解之得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了絕對(duì)值函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域，構(gòu)造方程的思想，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類討論探究，屬于難題和易錯(cuò)題．