Question

16．已知函數(shù)f（x）=1-$\sqrt{1-x}$
（1）證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，0]上的最大值與最小值．
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，0]上的最大值與最小值．
（3）求函數(shù)的值域．

解答 （1）證明：函數(shù)的定義域為（-∞，1]，
設x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\sqrt{1-{x}_{1}}$-（1-$\sqrt{1-{x}_{2}}$）=$\sqrt{1-{x}_{2}}$-$\sqrt{1-{x}_{1}}$=$\frac{1-{x}_{2}-1+{x}_{1}}{\sqrt{1-{x}_{2}}+\sqrt{1-{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{1-{x}_{1}}+\sqrt{1-{x}_{2}}}$，
∵x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{1-{x}_{1}}$＞0，$\sqrt{1-{x}_{2}}$≥0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[-3，0]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)的最大值為f（0）=1-1=0，最小值為f（-3）=1-$\sqrt{1+3}$=1-$\sqrt{4}$=1-2=-1．
（3）∵函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)且定義域為（-∞，1]，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）≤1，
即函數(shù)的值域為（-∞，1]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用，以及利用是的單調(diào)性求閉區(qū)間上的最大值和最小值以及值域，利用定義法是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．