Question

6．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁、F₂分別作直線l的垂線，垂足分別為P、Q，求四邊形PF₁F₂Q面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出橢圓的幾何量，即可求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，求出平行四邊的面積．當(dāng)k≠0時(shí)，令|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，求出d₁，|PQ|，d₂，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解四邊形的面積，然后求解最大值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題知$c=1，e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，故$a=\sqrt{2}，b=1$，故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，${S_{四邊形P{F_1}{F_2}Q}}=2$；
當(dāng)k≠0時(shí)，令|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則${d_1}=|\frac{-k+m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}|，{d_2}=|\frac{k+m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}|$，$|PQ|=|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
由題知△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0即m²=1+2k²
所以${S_{四邊形P{F_1}{F_2}Q}}=\frac{1}{2}（{d_1}+{d_2}）•|PQ|=|\frac{d_1^2-d_2^2}{2k}|=|\frac{2m}{{1+{k^2}}}|$，又m²=1+2k²，故|m|＞1
所以${S_{四邊形P{F_1}{F_2}Q}}=|\frac{2m}{{1+{k^2}}}|=\frac{4}{{|m|+\frac{1}{|m|}}}＜2$；
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，${S_{四邊形P{F_1}{F_2}Q}}$取得最大值2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．