Question

正數(shù)數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：對(duì)于任意的自然數(shù)n，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{

bn

}為等差數(shù)列；
（2）若a₁=1，b₁=2，a₂=3，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）通過已知得到關(guān)于數(shù)列的項(xiàng)的兩個(gè)等式，處理方程組得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差數(shù)列的定義得證
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

bn

的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出b_n，a_n．

解答：證明：（1）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=

bn•bn+1

③．
將③代入①得，對(duì)任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1•bn

+

bn•bn+1

．
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差數(shù)列．
解：（2）設(shè)數(shù)列{

bn

}的公差為d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=

9

2

．
∴

b1

=

2

，

b2

=

3

2

2

d=

b2

-

b1

=

2

2

．
∴

bn

=

n+1

2

2

∴b_n=

(n+1)2

2

，
a_n=

bn•bn+1

=

n(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列可用的依據(jù)是定義或中項(xiàng)；解決不等式恒成立常通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值．