Question

18．若直線l：x+my+c=0與拋物線y²=2x交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=-1，c=-2時(shí)，求證：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和拋物線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件，證得
x₁x₂+y₁y₂=0，即可得證；
（2）運(yùn)用兩直線垂直的條件，結(jié)合韋達(dá)定理，可得c=-2，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)．

解答 證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+my+c=0}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去x，得y²+2my+2c=0，
即有y₁+y₂=-2m，y₁y₂=2c，
則x₁+x₂=2m²-2c，x₁x₂=c²，
當(dāng)m=-1，c=-2時(shí)，x₁x₂+y₁y₂=4-4=0，
則有OA⊥OB；
（2）當(dāng)OA⊥OB，有x₁x₂+y₁y₂=0，
由（1）可得c²+2c=0，
解得c=-2（c=0舍去），
則直線為x+my-2=0，
令y=0，則x=2．
即有直線l恒過定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，屬于中檔題．