Question

若拋物線y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，橢圓與軸的上半軸交于點(diǎn)B₂，與軸的右半軸交于點(diǎn)A₂，橢圓的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，且3|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

|

OB2

|
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)D（0，2）的直線，斜率為k（k＞0），與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．
（i）若M，N的中點(diǎn)為H，且存在非零實(shí)數(shù)，使得

OH

=λ

A2B2

，求出斜率k的值；
（ii）在軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形？若存在求出m的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．b=

3

c=

3

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意設(shè)直線的方程為y=kx+2，k＞0，它與橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，由

y=kx+2，k＞0 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由此利用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出斜率k的值．
（3）設(shè)在軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形由k_HQ•k_MN=-1，得m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

≥-

3

6

，由此能求出m的范圍．

解答： 解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
∴橢圓的焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
設(shè)短半軸長b，長半軸長a，
∵|

F2B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，
∴b=

3

c=

3

，a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意設(shè)直線的方程為y=kx+2，k＞0，
它與橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
由

y=kx+2，k＞0 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
△=12k²-3＞0，由k＞0，解得k＞

1

2

，
x1+x2=

-16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，
MN的中點(diǎn)H（

-8k

4k2+3

，

6

4k2+3

），
又

OH

∥

A2B2

，
k_OH=

6 4k2+3

-8k 4k2+3

=kA1B1=

3 -0

0-2

=-

3

2

，
解得k=

3

2

＞

1

2

，∴k=

3

2

．
（3）設(shè)在軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形，
則HQ⊥MN，k_HQ•k_MN=-1，

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

•k=-1，
∵k＞

1

2

，∴m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

≥-

2

2 4k• 3 k

=-

3

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)4k=

3

k

，k＞

1

2

，即k=

3

2

時(shí)，取等號(hào)，
又m=-

2k

4k2+3

＜0，
故在軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形，
m的范圍是[-

3

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查斜率k的值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．