Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（x-1）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（m，f（m））處的切線(xiàn)在y軸上的截距為2，求實(shí)數(shù)m的取值；
（2）求函數(shù)h（x）=g（x）+g′（x）的極值；
（3）求函數(shù)r（x）=g（x）+e|f（x）-a|（a為常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）∵f（x）=lnx，∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，lnm），求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（m，f（m））處的切線(xiàn)方程即可．
（2）對(duì)h（x）求導(dǎo)h'（x）=2e^x+（2x-1）e^x=（2x+1）e^x，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到極值．
（3）函數(shù)r（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a為常數(shù)），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，lnm），
又∵$f'（x）=\frac{1}{x}$，∴過(guò)切點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率為${K_切}=f'（m）=\frac{1}{m}$，
則函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（m，f（m））處的切線(xiàn)方程為$y-lnm=\frac{1}{m}（{x-m}）$…（2分）
即$y=\frac{1}{m}x+lnm-1$，
又切線(xiàn)在y軸上的截距為2，則lnm-1=2，即m=e³，…（4分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=g（x）+g'（x）=（x-1）e^x+[（x-1）e^x]′=（2x-1）e^x，
∴h'（x）=2e^x+（2x-1）e^x=（2x+1）e^x…（6分）
令h'（x）=（2x+1）e^x＞0，解得$x＞-\frac{1}{2}$，令h'（x）=（2x+1）e^x＜0，解得$x＜-\frac{1}{2}$，
則函數(shù)h（x）=g（x）+g'（x）在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上為單調(diào)遞增函數(shù)，
在$（{-∞，-\frac{1}{2}}）$上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)h（x）的極小值為$h（{-\frac{1}{2}}）=\frac{-2}{{\sqrt{e}}}$，無(wú)極大值存在 …（8分）
（3）∵函數(shù)r（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a為常數(shù)），
∴函數(shù)$r（x）=\left\{\begin{array}{l}（{x-1}）{e^x}+e（{lnx-a}）（{當(dāng)x≥{e^a}時(shí)}）\\（{x-1}）{e^x}+e（{a-lnx}）（{當(dāng)x＜{e^x}時(shí)}）\end{array}\right.$，…（9分）
①當(dāng)x≥e^a時(shí)，$r'（x）=x{e^x}+\frac{e}{x}＞0$恒成立，
則函數(shù)r（x）在[e^a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，…（10分）
②當(dāng)0＜x＜e^a時(shí)，$r'（x）=x{e^x}-\frac{e}{x}$，
又∵${[{r'（x）}]^′}={（{x{e^x}-\frac{e}{x}}）^′}=（{x+1}）{e^x}+\frac{e}{x^2}＞0$恒成立，
∴函數(shù)$r'（x）=x{e^x}-\frac{e}{x}$在（0，e^a）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又∵r'（1）=0，∴函數(shù)r'（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0…（12分）1⁰、當(dāng)a≤0時(shí)，e^a≤1，則此時(shí)r'（x）在（0，e^a）上恒小于0
即函數(shù)r（x）在（0，e^a）上為單調(diào)遞減函數(shù)，…（13分）2⁰、當(dāng)a＞0時(shí)，e^a＞1，則此時(shí)r'（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0，
即函數(shù)r（x）在（0，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
在（1，e^a）上為單調(diào)遞增函數(shù)，…（15分）
綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)r（x）遞減區(qū)間為（0，e^a），遞增區(qū)間為[e^a，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)r（x）遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為[1，+∞），…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)切線(xiàn)方程、極值、單調(diào)區(qū)間中的應(yīng)用，屬于中檔題型．