Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0．ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期為π，其圖象上一個最高點為M（$\frac{π}{6}$，2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，求f（x）的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵由題意可得，A=2，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
∵再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點M（$\frac{π}{6}$，2），可得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得ω=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為1，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
故f（x）值域為[1，2]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．