Question

18．如圖，圓O的半徑為$\sqrt{2}$，A，B為圓O上的兩個定點，且∠AOB=90°，P為優(yōu)弧AB的中點，設C，D（C在D左側）為優(yōu)弧AB上的兩個不同的動點，且CD∥BA，記∠POD=α，四邊形ABCD的面積為S．
（1）求S關于α的函數(shù)關系；
（2）當α為何值時，S取得最大值？并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出O到AB和CD的距離，AB與CD的長，代入梯形面積公式，可得S關于α的函數(shù)關系；
（2）結合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得S的最大值及最大值點．

解答 解：（1）如下圖所示：

∵圓O的半徑為$\sqrt{2}$，A，B為圓O上的兩個定點，且∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}+{OA}^{2}}$=2，O到AB的距離d=1，
若∠POD=α，則CD=2$\sqrt{2}$sinα，O到CD的距離h=$\sqrt{2}$cosα，
故S=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$sinα+2）（$\sqrt{2}$cosα+1）=2sinαcosα+$\sqrt{2}$（sinα+cosα）+1=（sinα+cosα）²+$\sqrt{2}$（sinα+cosα）=2sin²（α+$\frac{π}{4}$）+2sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（2）令t=sin（α+$\frac{π}{4}$）．則S=2t²+2t，t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∵S=2t²+2t的圖象是開口朝上，且以直線t=-$\frac{1}{2}$為對稱的拋物線，
故當t=1，即α=$\frac{π}{4}$時，S取最大值4．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的解析式的求不地，函數(shù)的最值及其幾何意義，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．