Question

13．已知f（x）=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
（Ⅰ）寫出f（x）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)和單增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c，若f（A）=0，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)得：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得對(duì)稱中心；
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，可解得單增區(qū)間．
（Ⅱ）．由f（A）=0，由（Ⅰ）及范圍0＜A＜π，可求A的值，根據(jù)余弦定理與基本不等式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)得：f（x）=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$=cos（2x+$\frac{π}{3}$）…（3分）
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得對(duì)稱中心為：${（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0）_{（k∈z）}}$，
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，可解得單增區(qū)間為：$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]{_{（k∈z）}}$…（6分）
（Ⅱ）．由（Ⅰ）．知：$f（A）=cos（2A+\frac{π}{3}）+1=0，可得：cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$．
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，于是：$A=\frac{π}{3}$…（9分）
根據(jù)余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=$4-3bc≥4-3{（\frac{b+c}{2}）^2}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，a取最小值1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理與基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．