Question

2．已知S_n是等差數列{a_n}的前n項和，b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）若S₇=7，S₁₅=75，求數列{4${\;}^{_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的定義及其前n項和公式即可證明；
（2）利用等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：設等差數列{a_n}的公差為d，
則S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d，
∴b_n+1-b_n=a₁+$\frac{n+1-1}{2}$d-a₁-$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$d為常數，
∴數列{b_n}是等差數列，首項為a₁，公差為$\frac{1}{2}$d．
（2）解：設等差數列{a_n}的公差為d，
∵S₇=7，S₁₅=75，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=7}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}\right.$，解得a₁=-2，d=1．
∴b_n=-2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n-5}{2}$．
∴4${\;}^{_{n}}$=2^n-5．
∴數列{4${\;}^{_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{\frac{1}{16}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{16}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．