Question

20．已知f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π，把f（x）圖象的橫坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再沿x軸向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到g（x）的圖象，若tanα=2，則g（2α+$\frac{π}{2}$）的大小為（　　）

• A． -$\frac{5}{12}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω=2，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，從而利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得g（2α+$\frac{π}{2}$）的值．

解答 解：由f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
把f（x）圖象的橫坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
再沿x軸向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到g（x）=sin（x-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx的圖象，
若tanα=2，則g（2α+$\frac{π}{2}$）=-cos（2α+$\frac{π}{2}$）=sin2α=$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1{+tan}^{2}α}$=$\frac{4}{1+4}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．