Question

7．函數f（x）=2^x，g（x）=x²-2kx+$\frac{5}{2}$，若對于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，則實數k的取值范圍是$[\sqrt{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出函數f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域和g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域，結合對于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，轉化為集合包含關系后，可得實數k的取值范圍．

解答 解：函數f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域為[$\frac{1}{2}$，4]，
函數g（x）=x²-2kx+$\frac{5}{2}$的圖象是開口朝上，且以直線x=k為對稱軸的拋物線，
故g（t）在[k，2k+1]上為增函數，且k＞-1，
故g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域為[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
若對于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，
則[$\frac{1}{2}$，4]⊆[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
解得：k∈$[\sqrt{2}，+∞）$，
故答案為：$[\sqrt{2}，+∞）$．

點評 本題考查的知識點是函數的零點與方程根的關系，存在性問題，其中將問題轉化為值域的包含問題，是解答的關鍵．