Question

5．如圖，多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，
∠BAD=60°，四邊形BDEF是正方形．
（Ⅰ）求證：CF∥平面AED；
（Ⅱ）求直線AF與平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段EC上是否存在點P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出$\frac{EP}{PC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理，可得：BC∥平面ADE，BF∥平面ADE，進(jìn)而由面面平等的判定定理，可得平面BCF∥平面AED，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到：CF∥平面AED；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．求出直線AF的方向向量與平面ECF的法向量，代入向量夾角公式，可得直線AF與平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)P（x，y，z），$\overrightarrow{EP}=λ\overrightarrow{EC}$，根據(jù)AP⊥平面CEF，則平面CEF法向量為$\overrightarrow{n}$滿足：$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{n}$，根據(jù)無滿足條件的λ值，可得不存在這樣的P點．

解答 證明：（Ⅰ）因為ABCD是菱形，
所以BC∥AD．
又BC?平面ADE，AD?平面ADE，
所以BC∥平面ADE..…（1分）
又因為BDEF是正方形，
所以BF∥DE．
因為BF?平面ADE，DE?平面ADE，
所以BF∥平面ADE…（3分）
因為BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
所以平面BCF∥平面AED…（4分）
因為CF?平面BCF，
所以CF∥平面AED．…．…..（5分）
解：（Ⅱ） 因為四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，
所以△BCD為等邊三角形…（6分）
取BD的中點O，
所以CO⊥BD，
取EF的中點G，連結(jié)OG，則OG∥DE
因為DE⊥平面ABCD，
所以O(shè)G⊥平面ABCD..…（7分）
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
因為AB=2．
所以$O（0，0，0），A（0，-\sqrt{3}，0），B（1，0，0），C（0，\sqrt{3}，0），E（-1，0，2），F(xiàn)（1，0，2）$…（8分）
所以$\overrightarrow{AF}=（1，\sqrt{3}，2）$，$\overrightarrow{FE}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{FC}=（-1，\sqrt{3}，-2）$．
設(shè)平面CEF法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0\end{array}\right.$
得 $\left\{{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}}\right.$，
令y=1．則$\overrightarrow{n}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$…（9分）
設(shè)AF與平面ECF所成的角為θ，則$sinθ=|cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{n}＞|=|\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{n}|}|=\frac{\sqrt{42}}{7}$，
所以直線AF與平面ECF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．          …．…..（10分）
（Ⅲ）不存在…（11分）
$\overrightarrow{EC}=（1，\sqrt{3}，-2）$，
設(shè)P（x，y，z），$\overrightarrow{EP}=λ\overrightarrow{EC}$，
由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AE}+λ\overrightarrow{EC}$，
得$\overrightarrow{AP}=（λ-1，\sqrt{3}λ+\sqrt{3}，2-2λ）$…（12分）
因為平面CEF的法向量為 $\overrightarrow{n}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
若AP⊥平面CEF，則$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{n}$，即$\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow{n}$，..…（13分）
得$\left\{\begin{array}{l}λ-1=0\\ \sqrt{3}λ+\sqrt{3}=μ\\ 2-2λ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}μ\end{array}\right.$
方程組無解，不符合題意．
綜上，不存在λ使得AP⊥平面CEF．…．…..（14分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，向量法求線面夾角，難度中檔．