Question

15．已知?jiǎng)又本�y=-3x+b與二次函數(shù)y=-x²+2x-1，相交于A，B兩不同點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|AB|=3，求b的值；
（2）求Q點(diǎn)的軌跡方程；
（3）若b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），求|$\overrightarrow{OQ}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線y=-3x+b與二次函數(shù)y=-x²+2x-1聯(lián)立可得x²-5x+b+1=0，利用弦長(zhǎng)公式，建立方程，即可求b的值；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求Q點(diǎn)的軌跡方程；
（3）表示出|$\overrightarrow{OQ}$|，利用b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），求|$\overrightarrow{OQ}$|的取值范圍．

解答 解：（1）直線y=-3x+b與二次函數(shù)y=-x²+2x-1聯(lián)立可得x²-5x+b+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=5，x₁x₂=b+1，△＞0，可得b＜$\frac{21}{4}$．
∵|AB|=3，
∴$\sqrt{1+9}$•$\sqrt{25-4b-4}$=3，
∴b=$\frac{201}{40}$；
（2）設(shè)Q（x，y），則x=2.5，y=-7.5+b，
∴Q點(diǎn)的軌跡方程是x=2.5（y＜-$\frac{9}{4}$）；
（3）|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{（2b-15）^{2}}{4}}$，
∵b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{1189}}{4}$≤|$\overrightarrow{OQ}$|≤$\frac{\sqrt{469}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與二次函數(shù)的關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．