Question

17．如圖，矩形紙片ABCD的周長(zhǎng)為l，面積為S．
（1）當(dāng)S=4時(shí)，求l的最小值；
（2）當(dāng)l=4時(shí)，求S的最大值；
（3）在（2）的結(jié)論下，在紙片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)為t的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒，求紙盒的體積V（t）的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)矩形紙片ABCD的長(zhǎng)為a、寬為b．（1）通過(guò)S=ab=4，利用基本不等式即得結(jié)論；（2）通過(guò)a+b=2，利用基本不等式S=${\sqrt{ab}}^{2}$≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過(guò)體積公式可知V（t）=4t³-4t²+t（0＜t＜$\frac{1}{2}$），通過(guò)求導(dǎo)可知V（t）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)矩形紙片ABCD的長(zhǎng)為a、寬為b．
（1）∵S=ab=4，
∴l(xiāng)=2（a+b）≥2•2$\sqrt{ab}$=$2•2\sqrt{4}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)不等式取等號(hào)，
∴l(xiāng)的最小值為8；
（2）∵l=2（a+b）=4，
∴a+b=2，
∴S=ab=${\sqrt{ab}}^{2}$≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)不等式取等號(hào)，
∴S的最大值為1；
（3）由題易知正方形紙片的邊長(zhǎng)為1，0＜t＜$\frac{1}{2}$．
∴V（t）=（1-2t）•（1-2t）•t=4t³-4t²+t，
∴V′（t）=12t²-8t+1=（2t-1）（6t-1），
顯然V（t）在（0，$\frac{1}{6}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{6}$時(shí)V（t）有最大值v（$\frac{1}{6}$）=4×$\frac{1}{{6}^{3}}$-4×$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{8}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．