Question

已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（3）已知，若函數(shù)對(duì)任意都成立，求的最大值.

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求切線斜率：，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程為，即．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，從導(dǎo)函數(shù)出發(fā)，研究其零點(diǎn)情況：當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．（3）不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為0，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，，最后研究函數(shù)最大值

試題解析：【解析】
（1）當(dāng)時(shí)，，，， 2分

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即． 4分

（2）∵，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 6分

②當(dāng)時(shí)，由得，

∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 9分

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴不可能恒成立； 10分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)； 11分

當(dāng)時(shí)，由函數(shù)對(duì)任意都成立，得，

∵，∴ 13分

∴，

設(shè)，∴ ，

由于，令，得，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．

∴，即的最大值為，

此時(shí)． 16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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