Question

10．已知直線y=x+m被橢圓2x²+y²=2截得線段的中點的橫坐標為$\frac{1}{6}$．則中點的縱坐標為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通過聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理可知x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，通過截得線段的中點的橫坐標為$\frac{1}{6}$可知m=-$\frac{1}{2}$、x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，代入直線方程計算即得結(jié)論．

解答 解：聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：
3x²+2mx+m²-2=0，
則：x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，
又∵截得線段的中點的橫坐標為$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$，即-$\frac{m}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$，x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，
∴中點的縱坐標為$\frac{（{x}_{1}+m）+（{x}_{2}+m）}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+m=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．