Question

13．已知直三棱柱底面各邊的比為17：10：9，側棱長為16cm，全面積為1440cm²，求底面各邊之長．（提示：設△ABC的三邊長分別為a，b，c，記p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），則△ABC的面積S_△ABC=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$．

Answer 1

分析 設底面三邊長分別為17x cm、10x cm、9x cm，由余弦定理求出長為17x的邊所對的三角形內角的余弦值，從而求出直三棱柱的全面積為576x+72x²=1440，由此能求出底面各邊之長．

解答 解：設底面三邊長分別為17x cm、10x cm、9x cm，
S_側=（17x+10x+9x）•16=576x．
設長為17x的邊所對的三角形內角為α，
則cosα=$\frac{（10x）^{2}+（9x）^{2}-（17x）^{2}}{2×10x×9x}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴S_底=$\frac{1}{2}$•10x•9x•$\frac{4}{5}$=36x²．
∴576x+72x²=1440，解得x=2．
∴三邊長分別為34 cm、20 cm、18 cm．

點評 本題考查直三棱柱底面各邊長的求法，是中檔題，解題時要注意余弦定理的合理運用．