Question

19．下列命題：①已知f（x）在[a，b]上連續(xù)，且${∫}_{a}^$f（x）dx＞0，則f（x）＞0；②應(yīng)用微積分基本定理有${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=F（2）-F（1），則F（x）=ln（-x）；③${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx；④${∫}_{0}^{2π}$|sinx|dx=4．其中正確的是（　�。�

• A． ①②③④
• B． ③④
• C． ②③④
• D． ②③

Answer 1

分析 分別根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．

解答 解：對(duì)于①，設(shè)f（x）=x³，則f（x）在[-1，2]上連續(xù)，
${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{{x}^{4}}{4}$|${\;}_{-1}^{2}$=4-$\frac{1}{4}$＞0，
而當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0，故①錯(cuò)．
對(duì)于②，${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{1}^{2}$=F（2）-F（1），則F（x）=lnx，故②錯(cuò)．
對(duì)于③，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sin（$\frac{π}{2}$）-sin（-$\frac{π}{2}$）=2，
2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=2（sin（$\frac{π}{2}$）-sin0）=2，故③正確．
對(duì)于④${∫}_{0}^{2π}$|sinx|dx=2${∫}_{0}^{π}$sinxdx=-2cosx|${\;}_{0}^{π}$=-2（cosπ-cos0）=4，故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題借助于命題真假的判斷與應(yīng)用，考查微積分基本定理，微積分基本運(yùn)算性質(zhì)．屬于中檔題