Question

14．求與直線x=-2和圓A：（x-3）²+y²=1都相切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．

Answer 1

分析 動(dòng)圓P與直線x=-2相切，且與定圓A：（x-3）²+y²=1，當(dāng)與定圓A：（x-3）²+y²=1外切時(shí)，可以看到動(dòng)圓的圓心P到A（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，由此求得軌跡方程；當(dāng)與定圓A：（x-3）²+y²=1內(nèi)切時(shí)，設(shè)出P的坐標(biāo)，由題意列式，化簡(jiǎn)可得答案．

解答 解：由題意，當(dāng)動(dòng)圓P與直線x=-2相切，且與定圓A：（x-3）²+y²=1外切時(shí)，
∴動(dòng)點(diǎn)P到A（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等，
由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A（3，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-3為準(zhǔn)線的拋物線，
故所求A的軌跡方程為y²=12x；
當(dāng)動(dòng)圓P與直線x=-2相切，且與定圓A：（x-3）²+y²=1內(nèi)切時(shí)，如圖：
設(shè)P（x，y），則|x+2|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}+1$，
即|x+2|-1=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，兩邊平方可得：x²+4x+4-2|x+2|+1=x²-6x+9+y²，
即y²=10x-4-2|x+4|，
∴圓心P的軌跡為$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x-12，x≥-4}\\{{y}^{2}=12x+4，x＜-4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵，由定義法求軌跡的方程是近幾年高考的熱點(diǎn)，要注意掌握高中數(shù)學(xué)中所學(xué)的幾個(gè)重要定義，如圓錐曲線的定義，圓的定義等，該題是中檔題．