Question

7．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1-k}{k}$（k≥0）．
（1）當(dāng)k=2時，求曲線 y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得k=2的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間．令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域．

解答 解：（1）當(dāng)k=2時，f（x）=ln（1+x）-x-$\frac{1}{2}$，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
曲線 y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=-$\frac{1}{2}$，
切點(diǎn)為（1，ln2-$\frac{3}{2}$），
即有切線方程為y-（ln2-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即為y=-$\frac{1}{2}$x+ln2-1；
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$，x＞-1．
由f′（x）＞0解得-1＜x＜0，
由f′（x）＜0解得x＞0．
即有f（x）的增區(qū)間為（-1，0），減區(qū)間為（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．