Question

已知函數(shù)．

（1）設(shè)，，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，，試比較與的大�。�

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來研究的單調(diào)性，當(dāng)，時(shí)：，從而可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）由條件可知為極小值點(diǎn)，從而有，，即，接下來考慮用作差法比較與的大小關(guān)系，，因此構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而判斷的取值情況：，

令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，即，故．

試題解析：（1）由，，得， 2分

∵，，∴， 3分

令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 4分

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是； 6分

（2）由題意可知，在處取得最小值，即是的極值點(diǎn)，

∴，∴，即， 8分

令，則，

令，得， 10分

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 12分

∴，

∴，即，故． 14分．

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2．函數(shù)與不等式綜合．