Question

9．證明：平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證、證明過程．作AE⊥BC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于F，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，求證△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²

解答 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD是其兩條對角線，
求證：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²
證明：作AE⊥BC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于F，
則∠AEB=∠DFC=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
即：AC²+BD²=2（AB²+BC²）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²

點評 本題是一個文字命題的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證、證明過程．此題主要考查學(xué)生對勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性很強，有一定的拔高難度，屬于中檔題．本題的解題方法比較多．