Question

14．已知圓F的半徑為1，圓心是拋物線y²=16x的焦點(diǎn)，且直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓F有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由拋物線的焦點(diǎn)可得圓心為F（4，0）且半徑r=1，根據(jù)題意可得F到直線y=kx-2的距離小于或等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的不等式，解之得0≤k≤$\frac{4}{3}$，即可得到k的最大值．

解答 解：∵圓心是拋物線y²=16x的焦點(diǎn)F（4，0），
∴圓C的方程為（x-4）²+y²=1，可得圓心為C（4，0），半徑r=1．
又∵直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓F有公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)F到直線y=kx-2的距離小于或等于2，可得$\frac{|4k-0-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，
化簡(jiǎn)得：3k²-4k≤0，解之得0≤k≤$\frac{4}{3}$，
可得k的最大值是$\frac{4}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出定圓與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)求參數(shù)k的取值范圍，著重考查了拋物線的方程和焦點(diǎn)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．