Question

10．如圖，四面體ABCS中，SA，SB，SC兩兩垂直，∠ABS=45°，∠ABC=60°，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求BC與平面SAB所成的角；
（2）求證：平面ABC⊥平面SCM；
（3）求SC與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SA，SB，SC兩兩垂直，便知SC⊥平面SAB，從而得到∠SBC便是BC和平面SAB所成的角，根據(jù)條件可以得出△ABC為等邊三角形，從而得到SB=SC，從而得出∠SBC的值；
（2）由M為AB的中點(diǎn)，便可得到AB⊥CM，AB⊥MS，從而根據(jù)線面垂直的判定定理得出AB⊥平面SCM，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面ABC⊥平面SCM；
（3）要求SC與平面ABC所成角的正弦值，先找出這個角：可過S作SD⊥CM，從而可得到SD⊥平面ABC，∠SCD便是SC和平面ABC所成角，可設(shè)SA=1，這樣可根據(jù)條件得出MS，CM，SC，從而根據(jù)面積相等求出SD，這樣便可得出∠SCD的正弦值．

解答 解：（1）Rt△ABS中，∠ABS=45°；
∴SA=SB；
∴BC=AC；
又∠ABC=60°；
∴△ABC為等邊三角形；
∴SA=SB=SC，設(shè)SA=1；
SC⊥SA，SC⊥SB，SA∩SB=S；
∴SC⊥平面SAB；
∴∠SBC便是BC與平面SAB所成的角，且∠SBC=45°；
即BC與平面SAB所成的角為45°；
（2）證明：M是AB中點(diǎn)；
∴AB⊥MC，AB⊥MS，MC∩MS=M；
∴AB⊥平面SCM，AB?平面ABC；
∴平面ABC⊥平面SCM；
（3）如圖，過S作SD⊥MC，垂足為D；

由（2）知，平面ABC⊥平面SCM，平面ABC∩平面SCM=CM，SD?平面SCM，且SD⊥CM；
∴SD⊥平面ABC；
∴∠SCD為SC和平面ABC所成的角；
$MS=\frac{\sqrt{2}}{2}，CM=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
CM•SD=SC•MS；
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}•SD=1•\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$SD=\frac{1}{\sqrt{3}}$；
∴$sin∠SCD=\frac{SD}{SC}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
即SC與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 考查線面垂直、面面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，直線和平面所成角的概念及求法，以及根據(jù)面積相等求直角三角形底邊高的方法，正弦函數(shù)的定義．