Question

7．函數(shù)f（x）=|x-a+1|•ln（x+1），若對(duì)區(qū)間[1，2]上任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3≤a≤2+2ln2．

Answer 1

分析 對(duì)區(qū)間[1，2]上任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，a必須≥3，換元，分離參數(shù)，求最小值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)區(qū)間[1，2]上任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，∴必須a≥3，
令t=x+1．則f（t）=（a-t）lnt，t∈[2，3]，
求導(dǎo)，f′（t）=-lnt+$\frac{a-t}{t}$≤0，即a≤t+t•lnt，
設(shè)g（x）=t+t•lnt，顯然g（x）是單調(diào)增函數(shù)，
∴只要令a≤g（x）_min=g（2）=2+2ln2，
綜上所述，3≤a≤2+2ln2．
故答案為：3≤a≤2+2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求實(shí)數(shù)a的取值范圍，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．