Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與直線BC交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：MN⊥x軸；
（Ⅲ）若直線mn與X軸的交點(diǎn)恰為F（1，0），求證：直線AB過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），利用焦點(diǎn)為F（1，0），可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線AC、BD的方程，求得M的橫坐標(biāo)，求出直線AD、BC的方程，求得N的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）求得A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程y₀y=2（1+x），即直線AB的方程為y₀y=2（1+x），從而可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由題意，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），則$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁＞0，y₂＞0．
由y²=4x（y＞0），得y=2$\sqrt{x}$，所以y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$．
所以切線AC的方程為y-y₁=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$（x-x₁），即y-y₁=$\frac{2}{y}$（x-x₁）．
整理，得yy₁=2（x+x₁），①且C點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₁，0）．
同理得切線BD的方程為yy₂=2（x+x₂），②且D點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₂，0）．
由①②消去y，得x_M=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$．
又直線AD的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$（x+x₂），③
直線BC的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$（x+x₁）．  ④
由③④消去y，得x_N=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$．
所以x_M=x_N，即MN⊥x軸．
（Ⅲ）證明：由題意，設(shè)M（1，y₀），代入（1）中的①②，得y₀y₁=2（1+x₁），y₀y₂=2（1+x₂）．
所以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程y₀y=2（1+x）．
所以直線AB的方程為y₀y=2（1+x）．
故直線AB過定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證的能力．