Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，h（x）=[f（x）-a][g（x）+a]，給出下列四個命題：
①?x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）恒成立；
②?x∈（-∞，0），使得f（x）＜g（x）成立；
③當-2＜a＜0或a=2時，h（x）有且只有一個零點；
④若h（x）有且只有三個零點，則a＜-2或a=e，
其中真命題為①③④．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析 分別利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的關系逐一判斷四個命題的真假．

解答 解：①、設k（x）=f（x）-g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-x-\frac{1}{x}$=$\frac{{e}^{x}-1}{x}-x$，x∈（0，+∞），
則k′（x）=$\frac{{xe}^{x}-（{e}^{x}-1）}{{x}^{2}}-1$=$\frac{{（x-1）（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0時，e^x-x-1＞0恒成立，
∴當x∈（0，1）時，k′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，k′（x）＞0，
則k（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，
當x=1時，k（x）取到最小值是k（1）=e-2＞0，
∴?x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）恒成立，①正確；
②、由①可得，k（x）在（-∞，0）遞減，沒有最小值，②不正確；
③、由h（x）=[f（x）-a][g（x）+a]=0得，f（x）-a=0或g（x）+a=0，
∵x＞0時，$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$，當且僅當$x=\frac{1}{x}$時取等號，則函數(shù)g（x）的最小值是2，
∴當x＜0時，函數(shù)g（x）的最大值是-2，
∵$f′（x）=（\frac{{e}^{x}}{x}）′$=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴當x∈（0，1）或（-∞，0）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，1）、（-∞，0）上遞減，在（1，+∞）遞增，
當x=1時，f（x）取到極小值是f（1）=e，
∴當-2＜a＜0或a=2時，h（x）有且只有一個零點，③正確；
④、由③得，h（x）有且只有三個零點，則a＜-2或a=e，④正確
綜上可得：真命題是①③④，
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的關系，考查構造函數(shù)法，恒成立問題的轉化，化簡、計算能力，綜合性強，屬于中檔題．