Question

18．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是一個平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow a$=（1，3）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$及$\overrightarrow a•\overrightarrow c$；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，且$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的性質(zhì)得到坐標的關(guān)系；$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}$=（λ，3λ），利用模求參數(shù)λ；
（2）利用已知向量垂直得到數(shù)量積為0，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：（1）因為|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，所以設(shè)$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}$=（λ，3λ），并且λ²+9λ²=40，解得λ=±2，
所以$\overrightarrow{c}$=（2，6）或者（-2，-6），
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=±20；
（2）因為|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，且$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$垂直，所以（$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=0，所以2${\overrightarrow{a}}^{2}-5\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}$=0，又$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=10，$|\overrightarrow{|}^{2}=\frac{10}{4}$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{5}{2}$，
所以$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角60°．

點評 本題考查了平面向量平行和垂直的性質(zhì)；向量數(shù)量積公式求向量夾角．