Question

12．已知橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），橢圓的左右焦點F₁，F(xiàn)₂與其短軸的端點構(gòu)成等邊三角形，且滿足a²=4c（c是橢圓C的半焦距）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：3x-2y=0與橢圓C在x軸上方的一個交點為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由題意知：a=2c，又a²=4c，b²=a²-c²，解出即可得出；
（2）由（1）可知，直線與橢圓的一個交點為P$（1，\frac{3}{2}）$，F(xiàn)（1，0），則以PF為直徑的圓方程是（x-1）²+$（y-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{16}$，以橢圓長軸為直徑的圓的方程是x²+y²=4，判斷圓心距與兩圓的半徑和差的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由題意知：a=2c，又∵a²=4c，b²=a²-c²，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由（1）可知，直線與橢圓的一個交點為P$（1，\frac{3}{2}）$，F(xiàn)（1，0），
則以PF為直徑的圓方程是（x-1）²+$（y-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{16}$，
圓心為$（1，\frac{3}{4}）$，半徑為$\frac{3}{4}$．
以橢圓長軸為直徑的圓的方程是x²+y²=4，
圓心是（0，0），半徑是2．
兩圓心距為$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$=2-$\frac{3}{4}$，
∴兩圓內(nèi)切．

點評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．