Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a∈R）．
（1）如果函數(shù)f（x）的圖象不在x軸的下方，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若方程f（x）-k=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)有兩個不相等的實根．求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），通過①當a≤0時，②當a＞0時，利用函數(shù)的單調(diào)性，分別求解函數(shù)的最小值，由題意可得f（x）≥0恒成立，解不等式即可得到a的范圍；
（2）由（1）推出$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=ax²-lnx，
所以f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
所以①當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，
故遞減區(qū)間為（0，+∞），無最值；
②當a＞0時，遞增區(qū)間為[$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞），遞減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），
所以有最小值為f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]．
由函數(shù)f（x）的圖象不在x軸的下方，即為f（x）≥0恒成立，
即有$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]≥0，
解得a≥$\frac{1}{2e}$；
（2）由（1）可知，$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，
所以$\frac{1}{2{e}^{2}}$＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
故a的取值范圍是（$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題解決問題的能力．