Question

2．在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a²-c²=ac-bc．則$\frac{bsinB}{c}$的值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，代入已知等式中變形，利用余弦定理表示出cosA，將得出的關(guān)系式代入求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，再利用正弦定理表示出sinB，代入所求式子中變形，將b²=ac及sinA的值代入計算即可求出值．

解答 解：∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
將b²=ac代入a²-c²=ac-bc，
即a²-c²=b²-bc，
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
即A=60°，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，
則$\frac{bsinB}{c}=\frac{^{2}sinA}{ac}$=sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 此題考查了余弦定理，正弦定理，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．