Question

5．設y=f（x）是二次函數，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式
（2）求函數y=log₃f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=8可求c，由f（x+1）-f（x）=-2x+1可構造關于a，b的方程組，可求解．
（2）結合對數函數的單調性以及一元二次函數的性質進行求解即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=8，∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=-2x+1
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=-2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=-2\\ a+b=1\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8．
（2）∵f（x）=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴由y=log₃f（x）得0＜f（x）≤9，
則y=log₃f（x）≤log₃9=2，
即函數的值域為（-∞，2]．

點評 本題主要考查函數解析式以及函數值域的求解，根據一元二次函數的性質，利用待定系數法是解決本題的關鍵．