Question

8．設x₁，x₂∈R，函數(shù)f（x）滿足e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，若f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁+x₂）最小值是（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由條件求得f（x）的解析式，再由f（x₁）+f（x₂）=1，可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+1，運用基本不等式可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，再由函數(shù)的單調性，即可得到最小值．

解答 解：由e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，可得
f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
由f（x₁）+f（x₂）=1，可得
$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{1}}}$+$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即為${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+3，
由${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
即有${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$+3，
解得$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$≥3，
即${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，當且僅當x₁=x₂，取得等號，
則f（x₁+x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1}$≥1-$\frac{2}{9+1}$=$\frac{4}{5}$．
即有最小值為$\frac{4}{5}$．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調性及運用，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．